慣量矩與 normal mode 問題

轉動慣量

慣性由質量決定，一個移動中的物體不會無故停下來。而一個轉動中的物體也不會隨便緩下來或瞬間停止轉動，相對應於質量之於慣性現象，轉動由 "轉動慣量" (Moment of Inertia) 來決定旋轉運動的(習)慣性。

 

角動量與角速度

角度不是向量，向量必須滿足加法（即合成向量）的交換律。

無限小角度變化則是向量（大二力學課本中會證明），因此再除以微小時間所獲得的角速度也自動會是向量。角速度通常以符號 ω 表示。

 

角速度是向量，因此存在分量的表示法

 

角動量 L = Iω（分量表示法是 L_i = Σ_j I _ij ω_j ）

（ I  的定義及推導見普物或 課本 p.136）

 

何謂 (轉動慣量的) 主軸

使 L = Iω = λω

從另一角度來看，進行座標轉換，所對應之相似轉換能使 I 對角化者，則新單位向量，即原問題的本徵向量，正是該剛性物體的 (轉動慣量) 主軸。

主軸

 

問題：在無重力下轉一個陀螺，轉動起來後再試著使其轉軸維持在一個平面上轉動，是否可能 ?

 

重要結論：

無淨力矩影響下，剛性物體的的轉動軸一定通過轉軸

 

 

Normal Mode 問題

耦合彈簧質量塊 振盪問題

 

其運動方程式為

 

寫成矩陣形式，列向量 X = [x1, x2, x3]^T

 

令 Y ≡ dX / dt

Y = A X

其中

 

從 d2 x/ dt2 = a x （a 為常數）的想法，我們知道有通解 x = x₀ e^ωt

推廣此一想法，我們試假設上式矩陣方程式的解是 X = C e^ωt （先假設沒有關係，事後可代回驗算看對不對） ，代入原式進行對時刻的微分，很容易可以看出：

A C = ω² C

 

 

問題：得出三個解，分子只會有這三種運動動作的可能嗎 ?

 

 

思考： （一）四方形分子，四個角上有原子，四邊以等彈簧相接，這個問題可用本節的方法做嗎？

（二）同上分子，對角線兩個原子再以彈簧接連，這個問題可用本節的方法做嗎？

（三）六角分子，沿六角邊每兩個原子再以彈簧接連，這個問題可用本節的方法做嗎？

 

如果 Δx 夠小， Δl ≡ √[ (x+Δx)2 - x₀² - (y)2]- √(x2 + y-)

 

 

矩陣的直積 (Direct Product)

m×m , n×n => mn × mn

 

例

 

( Q: When will this be used/needed ? A: When dimension pro the problem expanded. )